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MATEMATICA

Innamorati della matematica

In questi giorni si stanno svolgendo le Olimpiadi della matematica, a cui partecipano anche sei liceali svizzeri. Nessun ticinese quest’anno, ma la speranza per le prossime edizioni è grande. 

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Reto Crameri
15 luglio 2019

PROBLEMA 1

CAMPIONATO A SQUADRA

Parliamo di un campionato a 8 squadre, suddivise in 2 gruppi da quattro squadre ciascuno. L'album delle figurine di questo campionato contiene 10 figurine (ognuna con la foto di un giocatore) per ogni squadra più 10 figurine che rappresentano 10 diversi trofei. Le figurine sono vendute in pacchetti da 5 e nessun pacchetto contiene figurine doppie. 

1) Quanti possibili pacchetti differenti fra loro si possono formare?

2) Quanti possibili pacchetti differenti fra loro si possono formare mettendo nel pacchetto solo giocatori delle squadre appartenenti ad uno stesso gruppo?

3) Quanti possibili pacchetti differenti si possono formare mettendo nel pacchetto figurine di squadre tutte diverse fra loro?

4) Prova a stimare quanti pacchetti deve aprire almeno un collezionista, al quale manca una sola figurina, per avere la probabilità di finire l'album superiore al 90%.

Ulteriori informazioni qui: https://www.cooperazione.ch/utility/2019/quiz-matematica-221282/

Sia dallo studio della Conferenza dei direttori cantonali della pubblica educazione sia dall’indagine Pisa risulta che gli allievi ticinesi sono piuttosto bravi in matematica, anche se la materia resta l’incubo di diversi alunni. Ma le cose stanno cambiando, almeno secondo Lucio Calgagno, da oltre trent’anni docente di matematica al Liceo 2 di Lugano. «Noto che le scuole medie stanno facendo un buon lavoro, per cui la percezione della matematica è sempre meno quella di una materia spauracchio. Ci sono colleghi che ritengono che gli alunni siano peggiorati, ma non è quello che constato io. I ragazzi di oggi sono diversi, perché sono diversi i tempi in cui vivono. Però le domande e le preoccupazioni che esprimono non sono cambiate negli anni e posso ben dire che il loro livello non è affatto peggiorato. Regolarmente mie ex allieve e miei ex allievi che hanno proseguito gli studi nel campo scientifico mi dicono che la loro preparazione è molto buona anche se confrontata con quella dei loro compagni provenienti da altri cantoni – spiega il professore, prossimo alla pensione –. Sono 58 anni che vado a scuola, prima dietro i banchi, poi come professore. E lo faccio oggi con la stessa passione con cui ho iniziato». Non stentiamo a credergli, non solo per la sua aria affabile, ma anche perché ne abbiamo avuto conferma da suoi ex allievi, anche da quelli non ferrati in matematica. 

L’aspetto ludico della matematica

Forse una delle chiavi del successo sta nel presentare la matematica in forma ludica o perlomeno non troppo nozionistica. Come le Olimpiadi della matematica – che quest’anno si svolgeranno nel Regno Unito, a Bath, dall’11 al 22 luglio – per le quali il professore Calcagno fa da ponte tra gli organizzatori ticinesi (due dottorandi) e le scuole ticinesi, partecipando anche nella realizzazione delle giornate preparatorie.

Alle Olimpiadi di Bath non ci saranno ticinesi, ma le speranze per le prossime edizioni sono grandi. Infatti, da qualche anno i partecipanti ai turni di selezione stanno aumentando in modo esponenziale. Abbiamo incontrato Maria Würz, studentessa al liceo di Lugano 1, che ha da poco terminato il secondo anno e che ha partecipato alla selezione già due volte. La prima non era ancora in età liceale, per cui aveva preso parte a uno junior camp per i più giovani, una sorta di ritiro per prepararsi alla selezione dei candidati per le Olimpiadi della matematica. «Sono stata ad Altstetten a Zurigo per un weekend. Ero l’unica ticinese. È stato bello: ho potuto fare matematica per un weekend intero – racconta la giovane–.  Mi piacciono le Olimpiadi della matematica perché sono un modo per mettermi alla prova. Dato che al classico il programma di matematica non è così impegnativo, questo evento mi dà l’occasione di esercitarmi in modo diverso. In classe, per esempio, calcoliamo aree e volumi, e con degli esercizi applichiamo le regole appena imparate. Le Olimpiadi invece puntano molto più sul ragionamento». Le fa eco il professor Calcagno: «Ci sono differenze enormi tra le Olimpiadi della matematica e il programma scolastico. Le Olimpiadi ricoprono quattro discipline: geometria, teoria dei numeri, algebra e calcolo combinatorio. Non è necessario sapere tanta matematica per risolvere i problemi, ma bisogna saperla gestire». E se volete mettere alla prova le vostre competenze, sul nostro sito troverete pane per i vostri denti con esercizi preparati dal professor Calcagno. Buon divertimento! Perché sì, la matematica è anche questo.

Alessio Figalli

INTERVISTA

Alessio Figalli, Medaglia Fields 2018, il “Nobel” della matematica, sulla passione per questa materia e sulle opportunità che offre.

Il senso della sfida

In che cosa la Medaglia Fields ha cambiato la sua vita?

Innanzitutto sto ricevendo attenzione da parte dei media, come dimostra anche questa intervista (sorride). Da un certo punto di vista sono diventato una figura molto più pubblica e lo vedo nel tipo di inviti ricevuti in questi ultimi tempi. Mi sono ritrovato sia a fare presentazioni al grande pubblico che a incontrare ragazzi di liceo che hanno un interesse scientifico e vogliono discutere delle potenzialità della matematica, sapere cosa fa un matematico, perché studiare matematica, ingegneria oppure fisica. Sono domande a cui, quando si è giovani, raramente si ha risposta. Io stesso al liceo non sapevo nemmeno che il mestiere di matematico esistesse. Ho ricevuto anche lettere di ragazzi delle medie e delle elementari affascinati dalla mia storia, ho visto molta eccitazione negli occhi dei ragazzi e questa è la cosa più bella. Per la comunità matematica, invece, non è cambiato niente: tra colleghi ci si stima al di là dei premi e dei riconoscimenti. 

Come è nata la sua passione per la matematica?

PROBLEMA 2

CASSE DI MELE

Abbiamo 128 casse di mele e sappiamo che ogni cassa contiene non meno di 120 mele e non più di 144 mele. Mostra con chiarezza che ci devono essere per forza almeno 6 casse con lo stesso numero di mele. Prova a generalizzare (procedimento fondamentale in matematica). Se il numero di casse fosse C e il numero di mele per cassa fosse non minore di a e non maggiore di b quale condizione deve verificare M affinché si possa essere certi che vi saranno almeno M casse contenenti lo stesso numero di mele?

Ulteriori informazioni qui: https://www.cooperazione.ch/utility/2019/quiz-matematica-221282/

Difficile a dirsi. Fin da piccolo mi divertivo a fare operazioni a mente, mi venivano molto naturali. Era un grande vantaggio, perché era una materia in meno da studiare e quindi avevo più tempo per dedicarmi alle altre. Poi, verso metà del liceo, ho scoperto le Olimpiadi della matematica, e iniziai a vedere la matematica in modo diverso: scoprii il senso della sfida e della creatività. Non si trattava più di applicare le regole appena imparate in modo automatico in problemi disegnati ad hoc. Alle Olimpiadi della matematica i problemi erano un po’ diversi, bisognava inventarsi la soluzione: questo mi affascinava e mi divertiva. Allora conobbi anche dei ragazzi che avevano deciso di iscriversi a matematica all’università e questo ha fatto scattare la scintilla. Anche se non sapevo bene cosa aspettarmi, erano cose astratte: cosa vuol dire diventare fisico, ingegnere, matematico? 

È stato un salto nel buio?

Sì. Quando ho iniziato matematica all’università mi sono accorto che non era la materia che avevo conosciuto al liceo, era un altro mondo. Penso sia così per tante altre cose nella vita: finché non se ne fa l’esperienza, non si sa bene a cosa si va incontro. 

Contrariamente a lei, in molti hanno ricordi “traumatici” delle lezioni di matematica. I docenti potrebbero fare qualcosa per rendere più accattivante la materia?

I docenti sono legati a un programma scolastico, e cambiarlo richiede molto lavoro. Io non sono un esperto in didattica della matematica e non ho mai studiato abbastanza questa questione per avere una risposta sufficientemente strutturata. Ma ultimamente ho sentito diversi discorsi su questo argomento. Stanislav Smirnov, un matematico russo professore a Ginevra, che ha ricevuto la medaglia Fields nel 2010, negli ultimi anni, assieme ad altri matematici russi, si è adoperato per analizzare il modo in cui la matematica viene insegnata nel suo Paese. Quello che fa notare, e in questo ho trovato diverse analogie con l’Italia, è che i programmi scolastici non sono mai stati cambiati in funzione di quello che sta succedendo a livello di ricerca universitaria, della matematica moderna. A scuola, per esempio, si spende tanto tempo a fare geometria solida, cosa che all’università non si fa mai, perché è una “matematica antica”. Quindi gli studenti, non vedendo un fine si chiedono: perché devo passare il mio tempo a misurare il volume di un solido? 

Appunto: perché?

Perché in verità, in matematica “tutto fa brodo”. La matematica è anche fatta di un po’ di frustrazione a fare conti. Non bisogna pensare che di colpo la matematica moderna sia tutta bella e divertente. C’è bisogno della manualità nei conti per poter passare a cose più belle e più astratte, e anche a quelle più pratiche, da applicare al mondo attuale. Però esistono esempi di applicazione di matematica moderna che si riescono a raccontare senza aver bisogno di troppi strumenti.

Per esempio?

PROBLEMA 3

STAZIONE DEL TRENO

Un treno parte dalla stazione A. Sia alla partenza sia ad ogni stazione intermedia salgono sul treno tanti passeggeri, ognuno diretto ad una stazione diversa, quante sono le fermate successive. Sapendo che il numero massimo di viaggiatori sul treno presenti assieme è 380 trova quante sono le stazioni?

Ulteriori informazioni qui: https://www.cooperazione.ch/utility/2019/quiz-matematica-221282/

I numeri primi. Il professore si prende un paio di settimane per insegnare le loro proprietà. Ci si diverte un po’… (sorride e si corregge) qualcuno si diverte e poi chiede: “perché abbiamo fatto questa cosa?”. La risposta del docente sarà: “perché ora vi faccio vedere come funziona la crittografia”. Il concetto di crittografia è molto semplice da spiegare pur essendo molto complesso. E la matematica che ci sta dietro è una matematica relativamente elementare, risale al Seicento, ma per applicarla a un problema concreto ci sono voluti tanti anni: la crittografia è stata sviluppata negli anni ’70. Un altro esempio? Cerchiamo di capire il concetto di suono. Io parlo, faccio vibrare l’aria, e l’ascoltatore sente il suono: il suo orecchio, sentendo le vibrazioni, le trasforma in parole. Però magari in questo momento stiamo registrando la conversazione (indica lo smartphone). Ora come fa un registratore a ricordarsi il suono? Non può ricordarsi come ha vibrato l’aria. Il cellulare trasforma il suono – che è una vibrazione – in un segnale digitale. E questa trasformazione avviene nei due sensi, da suono a numeri e da numeri a suono. Questa è matematica. È lo studio che Fourier ha fatto nell’Ottocento, quando capì che ogni suono è una sovrapposizione di frequenze fondamentali, e quindi una successione di numeri. Fourier non aveva in mente i cellulari, però poi ecco che è arrivata la tecnologia e questa scoperta è servita. Ma ci sono tanti altri esempi sfiziosi. Come funziona Google? È tutta matematica quella che ci sta dietro. Negli anni ’90 i motori di ricerca non erano molto buoni: raramente si trovava quello che si cercava. Oggi invece con Google andiamo molto spesso a colpo sicuro. Insomma, la matematica è presente nella vita di tutti i giorni, anche dove non ce l’aspettiamo. 

Abbiamo capito che la matematica è utile. Ma lei l’ha anche definita “bella”, un aggettivo meno usuale…

Per un matematico la matematica è come una sinfonia per un musicista o un quadro per un artista. È difficile spiegare, bisogna farsi l’orecchio o l’occhio per capire la bellezza di certe cose. Però se uno ci riflette, ci sono tante cose affascinanti. Per esempio, a scuola iniziamo a studiare i numeri interi (1, 2, 3…), poi a un certo punto si affronta il pensiero astratto con le sottrazioni e i numeri negativi: si fa un calcolo e il risultato sono -3 mele. Ma cosa vuol dire avere -3 mele? (Sorride). E si continua, con le frazioni, i numeri reali, quelli immaginari… La matematica non è fatta di regole immutabili che sono state imposte dall’alto, ma di costruzioni dettate un po’ dall’esperienza e che i matematici hanno sviluppato perché servivano a qualcosa: non si fa mai niente per niente. La matematica è affascinante perché permette, tramite un linguaggio universale e tutto suo, di racchiudere in pochissime formule dei concetti molto complessi. Un esempio: la formula di Newton ci permette di capire come cadono i corpi. F= ma. Un’equazione breve e compatta di sole tre lettere racchiude tutti i fenomeni di base legati alla gravitazione! È potente (apre le braccia con entusiasmo). La stessa cosa si può dire per la teoria della relatività generale di Einstein, che ha trovato le equazioni di base della relatività con cui ora si riescono a predire tantissime cose sull’universo.  

Prima di ottenere delle formule del genere, immagino ci siano tanti fallimenti…

Sempre! Per un problema che risolvi, ce ne sono dieci che si concludono in fallimenti. 

E lei come supera questa frustrazione?

PROBLEMA 4

PIASTRELLE

Abbiamo un locale rettangolare con un pavimento di piastrelle quadrate che lo coprono perfettamente. La metà delle piastrelle è adiacente alle pareti. Quante possono essere in tutto le piastrelle?

Ulteriori informazioni qui: https://www.cooperazione.ch/utility/2019/quiz-matematica-221282/

Bisogna conviverci e capire che fa parte del gioco. La mia ricetta è sempre stata quella di trovare un certo equilibrio: lavoro su più problemi allo stesso tempo, così se me ne va male uno, forse mi andrà meglio con un altro. A uno dei problemi che è stato menzionato per la medaglia Fields, ho lavorato quasi sette anni. Ma non ho passato sette anni a pensarci tutti i giorni: ci ragionavo qualche mese, poi arrivavo al punto in cui non sapevo come continuare, e allora lo lasciavo da parte per poterci ripensare a mente fresca. Così riuscivo ad esplorare nuove vie. In certi casi si va avanti così a vita, invece nel mio caso dopo sette anni è arrivato l’eureka! Inoltre, trovo molta pace e soddisfazione nell’insegnamento: vedere gli occhi di uno studente che si illuminano è bellissimo, vuol dire che siamo riusciti a fare qualcosa di buono. E poi io scelgo problemi che mi piacciono. 

Che problema vorrebbe risolvere oggi? 

Un paio d’anni fa, mi sono lasciato trasportare da problemi di transizione di fase. Sono di vario tipo, si può pensare all’esempio dello scioglimento del ghiaccio dentro l’acqua. Nel processo di scioglimento, la forma del ghiaccio cambia e noi vogliamo capire questo fenomeno fino al completo scioglimento. È un processo naturale, ma molto complesso matematicamente, e numericamente molto difficile da risolvere, anche se abbiamo già ottenuto dei risultati interessanti. Oppure il processo di separazione dei liquidi (per esempio, quando si mettono acqua e olio nello stesso contenitore). Anche in questo caso si tratta di un problema matematico: a seconda dei liquidi abbiamo equazioni diverse e noi matematici cerchiamo una regola generale per risolverle tutte. 

Per venire alla matematica più spiccia: qual è l’ultima operazione matematica che ha fatto?

Non saprei dire, non ci faccio caso. In verità i matematici non ne fanno tante… A me piace fare conti a mente, quindi forse in automatico conto un resto, uno sconto, una percentuale, una somma. Però la realtà è che per un matematico che fa analisi, i numeri sono inessenziali: sai che il risultato è un numero, ma conta poco quale sia. 

Che cosa fa quando non lavora a un problema?

Cerco sempre di fare un po’ di sport. L’anno scorso giocavo a basket all’università. Altrimenti a casa il week-end con mia moglie cerchiamo di cucinare un po’. Per il resto mi piace molto camminare, sia in città che lungo il lago o sulle colline attorno a Zurigo. Quando ero in Italia mi piaceva andare allo stadio, ma quest’anno è un po’ triste: la mia squadra (la Roma) sta facendo figure barbine...